TANIM1: bir -vektör uzayı ve olsun. Bu durumda olmak üzere denklemi yalnızca durumunda sağlanıyorsa, elemanlarına lineer bağımsızdır denir.
Burada en çok karıştırılan nokta şudur:
" durumunda zaten denklemi sağlanıyor. O halde lineer bağımsızdır" şeklinde, yanlış bir anlaşılma oluyor. Lineer bağımsızlığın tanımı bu değildir. elemanlarının lineer bağımsız olması için gerek ve yeter koşul denkleminin haricinde hiçbir çözümünün bulunmamasıdır. Yani, elemanları lineer bağımsız ve sayılarından en az biri sıfırdan farklıysa toplamı da sıfırdan farklıdır. Örneklerle zaten bu söylediklerimizi açıklayacağız.
TANIM2: bir -vektör uzayı olsun. Eğer, lineer bağımsız değilse bu elemalara lineer bağımlıdır denir. Lineer bağımlılık, lineer bağımsızlığın tersi olduğuna göre lineer bağımlılığın tanımı şu biçimde verilebilir:
lineer bağımlıdır
Yani, denkleminde en az bir sıfırdan farklı olabiliyorsa elemanları lineer bağımlıdır.
Basitten karmaşığa doğru örnekler verelim:
ÖRNEK1: olsun.
olduğundan ve elemanları lineer bağımsızdır.
ÖRNEK2: Örnek1'i genelleştirelim. olmak üzere , olsun.
olduğundan kümesi lineer bağımsızdır.
ÖRNEK3: olsun.
yerine basitlik için kullanalım:
.
biçiminde, iki bilinmeyenli bir denklemi çözmemiz gerekir. Şimdi bu denklemi
çözelim:
Şimdi bu denklemleri taraf tarafa toplayalım:
O halde 'dır. Buradan da denkleminde yerine yazılırsa bulunur. Dolayısıyla ve vektörleri lineer bağımsızdır.
ÖRNEK4: olsun. seçersek, olduğu halde
dır. O halde vektörleri lineer bağımlıdır.
ÖRNEK5: olsun.
seçersek, olduğu halde
olur. O halde vektörleri lineer bağımlıdır.
sayısını seçtiğimiz gibi, sıfırdan farklı herhangi bir sayı da seçebilirdik. Fakat bunun bir önemi yoktur. Çünkü lineer bağımlılığın tanımına göre sıfırdan farklı en az bir katsayı bulmak yeterlidir. Burada basitlik için seçtik.
Sıfır, yani elemanı, kümesine dahil olduğu için kümesi lineer bağımlı oldu. Bu, sadece uzayı için böyle değildir. Genelde de doğrudur. herhangi bir -vektör uzayı olsun. kümesini 'yı içeren herhangi bir sonlu küme seçelim. O halde biçimindedir.
seçilirse
olduğundan kümesi lineer bağımlı olur.
ÖRNEK6: bir -vektör uzayı olsun. Bu takdirde olduğundan,
olur. O halde lineer bağımsızdır.
ÖRNEK7: olsun.
diyelim. (Çalıştığımız uzay fonksiyonların uzayı olduğundan eşitliğin sağ tarafındaki , fonksiyonunu göstermektedir. Ayrıca yazılan eşitlik fonksiyonların eşitliğidir. Yani, 'dır.)
ve fonksiyonlarının lineer bağımsız olduğunu göstermek için olduğunu göstermeliyiz:
için
,
için
elde edilir. Birinci eşitlikteki ikinci eşitlikte yerine yazılırsa,
ve elde edilir. O halde ve fonksiyonları lineer bağımsızdır.
ÖRNEK8: olsun.
diyelim.
için
için .
O halde fonksiyonları lineer bağımsızdır.
ÖRNEK9: olsun.
(Burada ile fonksiyonu gösterilmektedir.)
seçilirse olduğu halde
olduğundan fonksiyonları lineer bağımlıdır.
