fonksiyon nedir örneklerle açıklayınız
ve iki küme olsun. 'nın her elemanını bir biçimde 'nin bir ve bir tek elemanıyla ilişkilendirelim. (Koyu renkle yazılmış sözcükler önemlidir; ilerde bunların üstünde duracağız.) Örneğin (gerçel sayılar kümesi), de -3'ten büyük gerçel sayılar kümesi olsun, yani olsun. İlişkilendirmeyi de şöyle yapalım: 'nın her elemanını (yani her gerçel sayıyı), o elemanın karesiyle ilişkilendirelim. Böylece ilişkilendirmeyi bir formülle tanımlamış olduk. Bu örnekteki ilişkilendirmeyi olarak yazarız, her sayı karesiyle ilişkilendirilmiştir, örneğin -3 sayısı 9'la, sayısı 2'yle ilişkilendirilmiştir. İşte 'dan 'ye giden fonksiyon böyle bir şeydir. Fonksiyon simgesiyle ifade edilir. Verilen örnek için yazılır.
yaşamış ya da şu anda yaşayan insanlar kümesi olsun. fonksiyonu her insanı annesine götürsün. Matematiksel olmasa da bu, 'dan 'ya giden bir fonksiyondur, çünkü her insanın bir annesi vardır. Ama her insanı kardeşine götüren bir fonksiyon yoktur çünkü bazı insanların kardeşi olmadığı gibi bazı insanların birden çok kardeşi vardır. Öte yandan, her insanı en büyük kardeşine götüren kural, kardeşi olan insanlar kümesinden kümesine giden bir fonksiyondur.
'dan 'ye giden bir fonksiyonu, kümesinin her elemanını 'nin bir ve bir tek elemanına götüren/elemanıyla ilişkilendiren bir "kural"dır. (Burada biraz yalan var, ama pek önemli değil: Kuralın ne demek olduğunu söylemediğimiz gibi, bir fonksiyonun tanımlanması için herhangi bir kurala da aslında gerek yoktur! İlerde, yazının sonunda, fonksiyonun gerçek matematiksel tanımını verdiğimizde bu pembe yalana ihtiyacımız kalmayacak.)
Özet olarak, verilmiş bir fonksiyonu, 'nın her elemanını bir biçimde 'nin bir ve bir tek elemanına götürür/elemanıyla ilişkilendirir.
Yukardaki örnekte, kural, olarak verilmiştir. Ama bir fonksiyon bir formül ya da bir kuraldan öte bir şeydir. Bir fonksiyon, sadece bir kural değildir; bir fonksiyonu tanımlamak için, kural dışında, bir de ayrıca ve kümeleri de gerekmektedir. Formül ya da kural aynı kalsa bile ve kümeleri değişirse fonksiyon da değişir. Yukardaki örnek üzerinden gidelim:
A ve B boş olmayan iki küme olsun. A’nın her elemanını B’nin yalnız bir elemanına eşleyen A’dan B’ye bir f bağıntısına, A’dan B’ye bir fonksiyon denir.
Fonksiyon olması için;
1) A’nın her elamanı B’ye gidecek.
2) A kümesinde açıkta eleman kalmayacak.
3) A’nın herhangi bir elamanı B’ye iki defa gitmeyecek.
4) B’de açıkta elaman kalabilir.
Örnek: A={ali,ayşe,fatma} B={sarma,makarna,pilav,yahni}
A’dan B’ye tanımlanan bağıntılardan hangileri fonksiyondur?
a) f={(ali,sarma),(ayşe,makarna),(fatma,yahni)}
b) g={(ali,pilav),(ayşe,sarma),(fatma,yahni),(fatma,makarna)}
c) h={(ayşe,sarma),(fatma,pilav)}
Yukarıdakilerden h bağıntısı fonksiyon değildir çünkü ali açıkta kalmıştır.
g bağıntısı fonksiyon değildir çünkü fatma iki çeşit yemek almıştır.
f bağıntısı fonksiyondur.A’nın her elamanı B’den bir çeşit yemek seçmiştir.
Buradaki kişilerin kümesine fonksiyonun tanım kümesi,yemeklerin kümesine fonksiyonun değer kümesi,değer kümesinde bulunan kişilerin yediği yemeklerin kümesine de fonksiyonun görüntü kümesi denir.
f: A---->B biçiminde yada f: x---->y biçiminde gösterilir.
y=f(x) yazılır. xϵA, y=f(x)ϵB olur.
Fonksiyonun görüntü kümesi f(A) ile gösterilir.
Tanım kümesi: ali,ayşe,fatma
Değer kümesi: sarma,makarna,pilav,yahni
Görüntü kümesi: sarma,makarna,yahni
