A)Sanal Sayı Kavramı
Sıfırdan farklı her reel sayının karesi pozitiftir, negatif olamaz. Sıfırın karesi sıfırdır.
Biz sanal olarak karesi negatif olan bir sayı düşünelim.
Örneğin karesi -1 olan bir sayı alırsak bu sayı bir sanal sayıdır. Bu sayıyı 'i' harfi ile gösterirler.
O halde dir.
Buna göre i sanal sayısı karesi -1 olan bir sayıdır.( )
Bu gösterimde
Dikkat edilirse i'nin kuvvetleri daima {i,-1,-i,1}dir.
değerinin hangi eleman olduğunu şöyle buluruz: i nin üssü olan n sayısını 4'e böleriz.
Eğer:
kalan 0 ise sonuç 1
kalan 1 ise sonuç i
kalan 2 ise sonuç -1
kalan 3 ise sonuç -i dir.
Sanal Sayılarla İşlemler
Toplama, çıkarma ve çarpmada (i)'yi bir harf gibi alır, sonuçta (i)'nin bir kuvveti varsa değerini yazarak işlemi yaparız.
Örneğin:
a)2i+3i-5i+6i=6i
b)3i-5i+i=-i
c)
Örnek= olduğuna göre
Cevap= 127 yi 4 e bölersek 3, 445 i bölersek 1, 1997 yi bölersek 1 kalır yani:
bulunur.
B)Karmaşık Sayılar
olmak üzere a+bi=z sayısına karmaşık sayı denir.
ifadesinde katsayılar reel sayı, üsler doğal sayı olduğu zaman P(x) bir polinom olur.
Her P(x) polinomu için alındığında P(i) nin daima a+bi olacağını görürüz.
Karmaşık sayılar kümesi C harfi ile gösterilir.
Bir karmaşık sayı iki kısımdan oluşur. Bunlar reel kısım ve sanal kısımlardır.
z=a+bi karmaşık sayısında (bilgi yelpazesi.net) a reel kısım, b ise sanal kısımdır.
Reel kısım Re(z)=a, sanal kısım İm(z)=b biçiminde yazılarak gösterilir.
Karmaşık Sayıların Eşitliği
yani a+bi=x+yi ise a=x,b=y dir.
Eşit karmaşık sayılarda reel kısımlar bir birine, sanal kısımlar birbirine eşittir.
Karmaşık Sayının Eşleniği
Bir karmaşık sayının eşleniği, sanal kısmın işareti değiştirilerek elde edilen karmaşık sayıdır. Eşlenik sayı, esas karmaşık sayının üstüne bir çizgi çekilerek belirlenir.
z=a+bi ise eşleniği dir.
3+2i nin eşleniği 3-2i dir.
KARMAŞIK SAYILARDA İŞLEMLER
Karmaşık sayılarla, toplama çıkarma ve çarpma işlemleri polinomlarda olduğu gibi yapılır.
Toplama İşlemi
Toplamada, reel kısımlar toplanıp reel kısım; sanal kısımlar toplanıp sanal kısım bulunur.
Karmaşık sayılarda toplama işleminin etkisiz elemanı reel ve sanal kısımları 0(sıfır) olan karmaşık sayıdır.
Bir z karmaşık sayısının toplamaya göre tersi -z dir.
Örnek=
z'=3-2i , z^=5+7i , z^^=-6+3i olduğuna göre z'+z^+z^^ toplamı nedir?
Cevap=
(3-2i)+(5+7i)+(-6+3i)ise
3+5-6=2 ve -2i+7i+3i=8i dir.
=2+8i
Çıkarma İşlemi
İki karmaşık sayının farkı, için çıkan sayının toplamaya göre tersi ile toplamı yapılır, yani çıkan sayının işaretleri değiştirilerek toplama yapılır.
Örnek=
z=5+2i ve z'=4-3i ise z-z'=?
Cevap=
z-z'=(5+2i)-(4-3i)
=5+2i-4+3i
=1+5i bulunur.
Çarpma İşlemi
Polinomlarda olduğu gibi yapılır. i nin kuvvetleri i türünden hesaplanarak çarpma işlemi yapılır.
Örnek=
z=3+4i ve z'=2-3i ise
z.z'=(3+4i).(2-3i)
=6-9i+8i+12
=6-9i+8i+12
=18-i bulunur.
Bölme İşlemi
Pay ve payda, paydanın (bilgi yelpazesi.net) eşleniği ile çarpılarak yapılır.
Örnek=
olduğuna göre 3+2i işleminin sonucu nedir?
Cevap=
3+2i = (3+2i).(5+3i) = 15+9i+10i+6
5-3i (5-3i).(5+3i) 25-9i
=15+9i10i-6 = 9+19i bulunur.
25+9 34
