ÇARPANLARINA AYIRMA NEDİR?
Bir harfli ifadeyi, iki veya daha fazla ifadenin çarpımı biçiminde yazmaya çarpanlara ayırma denir.
Çarpanlara Ayırma Yöntemler:
1) Ortak Çarpan Parantezine Alarak Çarpanlara Ayırma : Her terimde ortak olarak bulunan çarpan, parantez dışına alınır.Her terimin ortak çarpana bölümü parantez içine yazılır.
1) Aşagidaki ifadeleri Çarpanlarina ayiriniz.
a) 3a + 3b = 3(a + b) b) 5m – 10mn = 5m (1 – 2)
c) 12x + 9y =3(4x + 3y) d) 3a2b – 2ab2 = ab (3a – 2b)
e) 3ax + 3ay – 3az f) (a – b) x + 3 (a – b)
g) (m – n) – (a + b)(m – n) h) – a – b – x2 (a + b)
ı) x2(p – 3) + ma2 (3 – p) i) 1 – 2x + m (2x – 1)
2) Gruplandırma Yaparak Çarpanlara Ayırma : Bütün terimlerde ortak çarpan yoksa, terimler ikişer, ikişer, üçer, üçer guruplandırılır. Gruplar ayrı, ayrı ortak çarpanlarına ayrılır.
2) a) mx + ny + my + nx b) xy – xb – yb + b2
c) x4 – 4 + 2×3 – 2x d) 2×2 -3x – 6xy + 9y
e) x3 – x + 1 – x2 f) x4 – x + x3 – 1
g) ab(c2 – d2) – cd (a2 – b2) h) ac2 + 3c – bc – 2ac – 6 + 2b
ı) mn(zi + y2) + zy (m2 + n2) i) a2b2 + 1 – (a2 + b2)
3) Tam Kare şeklindeki Ifadeleri Çarpanlara Ayirma : Polinom üç terimli ise, ilk ve son terimin kare köklerinin çarpimi nin iki kati ortadaki terimi veriyorsa, bu tam kare şeklinde ifadedir
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2, a2 – 2ab + b2 = (a – b)2
3) a) x2 + 4xb + 4b2 b) 4a2 + 12ab + 9b2 c) 4a2b2 – 4abc + c2
4) a) a2b + 8ab +16b3 b) 2m3 – 28m2 +98m c) 4x3y – 12x2y2 + 9xy3
4) İki Kare Farkı Şeklindeki İfadeleri Çarpanlara Ayırma : Polinom iki terimli , işaretleri farkli, kare kökleri aliniyorsa; Bu Polinom iki kare farkı biçiminde çarpanlarına ayrılır.
a2 – b2 = (a + b) (a – b)
5) a) 25 – 9a2b2 b) x4 – 1 c) (m – n)2 – (m + n)2
6) a) 18×2 – 2y2 b) 2a2b3 – 32b c) 12x3y – 75xy5
7) a) 9a2 – 6a +1 – b2 b) x2 – 12x + 36 – 4y2 c)16m2 – n2 – 6n – 9
d)1 – x2 – 2xy – y2 e) m2 – n2 – 3m + 3n f) a2 – 25b2 – a + 5b
g) a2 – 4m2 – 12mn – 9n2 h) 9a2 -16m4 – 12axy + 4x2y2
5) İki Küp Toplamı – Farkı İfadeleri Çarpanlara Ayırma: a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2) , a3 – b3 = (a – b) (a2 + ab + b2)
8) a) a3 + 8 b) 8 – m3 c) x3 + 1 d) 27a3 – 64 e) x3a3 + b3
9) a) 81m3 – 3n3 b) 24x3y – 3y c) 2x + 54×4
10) a) (x +y)3 – 8 b) a3 + 8(a – b)3 c) (m – n)3 + 1
6) xn yn biçimindeki polinomları Çarpanlara Ayırma:
11) a) x4 + 1 = (x + 1) (x3 – x2 + x – 1)
b) x4 – 1 = (x2 + 1) (x + 1) (x – 1)
c) x5 + 25 = (x + 2) (x4 – 2×3 + 4×2 – 8x + 16)
d) x5 – 1 = (x – 1) (x4 + x3 + x2 + x + 1)
7) Bir Terim Ekleyip Çıkararak Çarpanlara Ayırma: Verilen İfade uygun bir terim ekleme ve çıkarma yolu ile tam kare ve iki kare farkı şeklinde çarpanlara ayırma işlemine benzetilir
12) 4×4 + 7×2 + 4 ifadesini Çarpanlarına ayırınız.
4×4 + 7×2 + 4 = 4×4 + 7×2 + 4 + x2 – x2 = 4×4 + 8×2 + 4- x2
= (2×2 + 2)2 – x2
2×2 2 = (2×2 + 2 – x) (2×2 + 2 + x)
2.2×2.2 = 8×2 = (2×2 – x + 2) (2×2 + x + 2)
13) x2 – 6x + 5 ifadesini x’li terimin kat sayısının yarısının karesini
ekleyip-çıkararak çarpanlarına ayırınız.
x2 – 6x + 5 + 32 – 32 = (x2 – 6x + 32) – 32 + 5 = (x – 3)2 – 4
= (x – 3 – 2) (x – 3 + 2) = (x – 5) (x – 1)
14) a) m2 + 2m – 24 b) a4 + a2 + 1 c) 16a4 + 4a2b2 + b4
d) a2 – 6ab + 8b2 +2b – 1 (Not: b2 yi bir ekleyip – çıkar )
8) x2 + bx + c şeklindeki üç terimlileri Çarpanlarina Ayirma : Çarpımları c, toplamları b olan iki sayı arayacağız. Çarpımları (+) ise işaretleri aynı, Çarpımları (-) ise işaretleri farklı Toplamları (+) “ “ (+) olur Toplamları (+) “ büyüğü (+) olur Toplamları (-) “ “ (-) olur Toplamları (-) “ büyüğü (-) olur
15)a) x2 + 5x + 6 b) x2 – 5x + 6 c) x2 + 7x + 6 d) x2 – 7x + 6
e) x2 + 5x – 6 f) x2 – 5x – 6 g) x2 + x – 6 h) x2 – x – 6
ı) x2 – 7x – 18 i) x4 – x2 – 30 k) m2 – 6m – 27 l) x2 – 3xy – 10y2
m) -x2 – 2x + 3 n) x2 – 13x + 30 o) x2 + 2y2- 3xy
9) ax2 + bx + c şeklindeki üç terimlileri Çarpanlarina Ayirma : ax2 + bx + c = (mx + p) (nx + q) mx p nx q (mx.q + nx.q = bx oluyorsa)
16) 6×2 + 7x – 3 = (3x – 1) (2x + 3) olur.
3x – 1 (3x . 3 – 1. 2x = 9x – 2x = 7x olduğundan)
2x + 3
17) a) 3×2 – 2x – 8 b) 3×2 – 7x + 2 c) 2m2 + 5mn – 12n2
d) 8a2 – 2ab – b e) 4×2 + 21x + 5 f) 36a2 – 33ab – 20b2
g) 4m2 + 11m – 3 h) 6a2 + 5a – 6 ı) 12a2 – 8ab – 15b2
i) 2m2 – 10m + 12 k) 3×2 + 3x – 18 l) 3 n2 + 30n + 48
18) a2 + 2ab + b2 = 3 ve c2 + 2ac + 2bc = 6 ise; a + b + c = ?
c2 + 2ac + 2bc = 6 T.T.T
a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc = 9 (a + b + c)2 = 9 Ç = {-3, 3}
19) 91) x = 4 , y = 2 ise, x5 – 5x4y + 10x3y2 – 10x2y3 + 5xy4 – y5 = ?
a) 16 b) 32 c) 64 d) 128 e) 256
x5 – 5x4y + 10x3y2 – 10x2y3 + 5xy4 – y5 = (x – y)5 = (4 – 2)5= 32
20) 97) , ise; a) 6 b) 8 c)10
a + b yerine ab yazılırsa
(a . b)2 – 2ab – 24 = 0 olur. a .b = y diyelim.
y2 – 2y – 24 = 0 y – 6) (y + 4) = 0 y = – 4 ve y = 6
21) ise, C = 8
olur. (özdeşlikte yerine yazalim )
22) ise; C = 36
olur. (özdeşlikte yerine yazalim )
23) ise; C = 12
olur. (yerine yazalım )
24) işleminin sonucu kaçtir?
123 =153 – 30 ve 183 =153 + 30 yazılırsa
=153 olur
Ebobu kullanarak bir sayının nelerle çarpılınca o sayıyı bulabileceğimizi gösterir.
Örnek :
8 in çarpanları
4ve 2,1ve 8, dir.
60ın çarpanları
1ve 60 , 15 ve 4, 2 ve 30 dur :)
