Cevap:
B) 26
Adım adım açıklama:
Burada bize x'in, y'nin ve z'nin doğal sayı olduğu bilgisi verilmiş. Ayrıca bizden de z'nin en küçük değeri için x+y toplamını sormuş.
z'nin en küçük çıkması için paydayı elimden geldiğince büyük sayı yapmalıyım. Çünkü bir kesrin paydası ne kadar büyükse kesrin sonucu o kadar küçülür. Bu halde ben 5'in ve 13'ün kuvvetlerini elimden geldiğince büyük yazmalıyım.
5 ve 13 sayılarının kuvvetlerini büyük yazarken dikkat etmem gereken bir husus var. O da payın paydaya tam bölünebilmesi. Yani 87! sayısı paydadaki sayıya tam bölünebilmeli yoksa z, doğal sayı olmaz.
O zaman benim bulmam gereken şey 87! sayısında kaç tane 5 çarpanı ve kaç tane 13 çarpanı olduğunu tespit edebilmek. 87! sayısındaki 5 çarpanları şunlardır:
5.10.15.20 .... Bu sayıların her birisinde 5 çarpanı vardır ancak tabi ki de böyle saymak imkansızdır. Nitekim 25 sayısında 2 tane 5 çarpanı vardır vs. Bu sebeple de bu konuda bilinen bir taktik uyguluyorum;
Bir faktöriyelin bir çarpanının sayısını bulabilmek için faktöriyeli alınan sayıyı sürekli olarak o sayıya bölerim ve çıkan sonuçları toplarım.
87/5=17,... (Küsurat önemli değil.)
17/5=3,... (Daha fazla 5'e bölünemeyeceği için duruyorum.)
17+3=20
Yani 87! sayısında 20 tane 5 çarpanı varmış. Aynı yolla 13 çarpanı sayısını buluyorum;
87/13=6
Yani 87! sayısında 6 tane 13 çarpanı varmış.
Bu halde ben paydadaki kuvvetlere yazabileceğim en yüksek değerler şunlar oluyor;
x=20
y=6
Bu halde de;
x+y=26
