x² + mx + n² = 0 denkleminde m ve n yerine rastgele birer rakam yazılıyor. Buna göre, denklemin gerçel kökünün olma olasılığı kaçtır?​

Sagot :

Bilgi:Bir denklemin gerçek kökü varsa ∆ (deltası) sıfıra eşit veya sıfırdan büyük olmalıdır.

∆ (delta) sıfırdan küçükse denklemde reel kök yok demektir.

Deltayı nasıl buluruz?

ax²+bx+c = 0

şeklinde yazılan bir denklemin deltası:

∆ = b²-4ac

formülü ile bulunmaktadır.

Soruya geçelim.

Denklem: x²+mx+n² = 0

∆ = m²-4n²

Çarpanlara ayırabiliriz. Bunun için iki kare farkı formülünü kullanacağız.

İki kare farkı formülü:

a²-b² = (a+b).(a-b)

O hâlde m²-4n² = (m+2n).(m-2n)

Deltayı bulduk. Daha sonrasında ne yapacağımızı düşünelim.

m ve n değerleri için rastgele rakamlar yazılıyor.

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Ve bizden denklemin gerçek kökü olma olasılığı soruluyor.

Olasılık bulunurken paydaya tüm ihtimalleri yazarız, paya ise yalnızca istenen ihtimali yazarız.

m ve n için 10 rakam arasından değer seçtiğimizde tüm ihtimaller:

  • m için: 10 ihtimal
  • n için: 10 ihtimal

  • m, n sıralı ikilisi için: 10×10 = 100 ihtimal

O halde paydaya 100 yazacağız.

Şimdi bizden isteneni bulmalıyız: Gerçek kök olma ihtimali.

(m+2n).(m-2n) ≥ 0

Bu eşitliği sağlayan kaç tane (m, n) sıralı ikilisi olduğunu bulalım.

(m+2n) toplamı m ve n sıfır olduğu durum dışında hep pozitiftir.

O halde asıl dikkat etmemiz gereken çarpan: (m-2n)

(m-2n) çarpanını sıfır veya sıfırdan büyük yapan m ve n değerlerini bulalım.

  • m-2n ≥ 0

  • m ≥ 2n eşitliğini sağlayacak sıralı ikililer:

  • m = 0 için n = 0

  • (0, 0)
  • m = 1 için n = 0

  • (1, 0)
  • m = 2 için n = 0, 1

  • (2, 0) , (2, 1)
  • m = 3 için n = 0, 1

  • (3, 0) ve (3, 1)
  • m = 4 için n = 0, 1, 2

  • (4, 0) , (4, 1) , (4, 2)
  • m = 5 için n = 0, 1, 2

  • (5, 0) , (5, 1) , (5, 2)
  • m = 6 için n = 0, 1, 2, 3

  • (6, 0) , (6, 1) , (6, 2) , (6, 3)
  • m = 7 için n = 0, 1, 2, 3

  • (7, 0) , (7, 1) , (7, 2) , (7, 3)
  • m = 8 için n = 0, 1, 2, 3, 4

  • (8, 0) , (8, 1) ,(8, 2) , (8, 3) , (8, 4)
  • m = 9 için n = 0, 1, 2, 3, 4

  • (9, 0) , (9, 1) , (9, 2) , (9, 3) , (9, 4)
  • Toplamda 30 sıralı ikili bulduk.

İstenen ihtimal: 30

Tüm ihtimaller: 100

Olasılığımız: 30100\frac{30}{100}

100

30