Sagot :
Merhaba, öncelikle çarpan nedir ve bir sayıyı çarpanlarına nasıl ayırırız bunun hakkında özet şeklinde duralım. Devamında 20 tane basit-orta düzeyde sorular yazıp birlikte çözelim.
Çarpan: iki ya da daha fazla sayı, çarpılarak daha büyük veya başka bir sayıyı oluşturuyorsa bu sayıyı oluşturan her bir farklı sayıya çarpan adı verilir. Bir başka deyişle, bir nesneyi ya da sayıyı meydana getiren her bir sayıya denir. Yapı taşı gibi düşünebilirsiniz. Örnek olarak 12 sayısı düşünelim. Bu sayıyı asal çarpanları şeklinde şöyle yazabiliriz;
[tex]12=3.2.2[/tex]
Gördüğünüz gibi, iki tane 2 rakamı ve bir tane 3 rakamı çarpılarak (bir araya getirilerek) başka bir sayı meydana getirilmiş. Bu örnekte 2 ve 3 rakamları, 12 sayısının asal çarpanları olmaktadır.
Bu örnek ışığında birkaç soru çözelim;
SORU 1: [tex]150[/tex] sayısını asal çarpanlarına ayırınız.
[tex]150=2.3.5.5[/tex] şeklinde ayrılabilir.
SORU 2: [tex]x^2+7x[/tex] sayısını çarpanlarına ayırınız.
[tex]x^2+7x[/tex] ifadesi [tex]x[/tex] parantezine alınabilir. Dolayısıyla cevap;
[tex]x^2+7x=x(x+7)[/tex] şeklinde yazılabilir.
SORU 3: [tex]4x^2+16x-20=0[/tex] ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklemini en sade formuna gelecek şekilde sadeleştiriniz.
Görüldüğü üzere [tex]x[/tex]'li terimlerin katsayıları arasında bir oran mevcuttur. Hepsini 4 ile sadeleştirirsek;
[tex]4x^2+16x-20=x^2+4x-5[/tex] şeklinde yazılabilir.
SORU 4: Kökleri [tex]-2[/tex] ve [tex]3[/tex] olan ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklemi çarpanları şeklinde yazınız.
Kökler bize verilmiş, [tex]-2[/tex] ve [tex]3[/tex] sayısının bu denklemi 0 yapması gerekmektedir. Çarpanları şeklinde yazarsak;
[tex](x+2)(x-3)=x^2-x-6[/tex] sonucuna ulaşırız.
SORU 5: [tex]\frac{(x-3)x}{x^2-x-6}[/tex] kesrinin en sade halini yazınız.
Paydadaki ikinci dereceden ifade çarpanlarına ayrılırsa şu elde edilir;
[tex]\frac{x(x-3)}{(x-3)(x+2)} =\frac{x}{x+2}[/tex] şekline dönüşür. [tex](x-3)[/tex] çarpanı ortak olduğundan birbiriyle sadeleşmiştir.
SORU 6: [tex]\frac{(x^2-4)}{2x+4} :(x-2)[/tex] ifadesinin en sade şeklini yazınız.
Soru biraz kompleksleşti lakin pay ve paydayı sadeleştirirsek, geri kalan işlemler daha da kolaylaşacaktır.
[tex]\frac{(x^2-4)}{2x+4} :(x-2)=\frac{(x-2)(x+2)}{2(x+2)} :(x-2)=\frac{(x-2)}{2} :(x-2)=\frac{1}{2}[/tex]
SORU 7: [tex]\frac{(a+b)^2-(a-b)^2}{ab}[/tex] ifadesi çarpanlarına ayrılıp sadeleştirilirse ne elde edilir?
Bu soru birkaç bilgiyi harmanlamanızı isteyen türden verilmiş. İki kare farkı özdeşliği kullanacağız pay kısmı için. Kısaca hatırlayalım. Eğer [tex]x[/tex] ve [tex]y[/tex] birer sayı ve bunların kareleri farkı alınmak istenirse, şu eşitlik kullanılabilir;
[tex]x^2-y^2=(x+y)(x-y)[/tex]
Aynısını uygulayalım ve cevaba ulaşalım.
[tex]\frac{(a+b)^2-(a-b)^2}{ab}=\frac{(a+b+a-b)(a+b-a+b)}{ab}=\frac{2a.2b}{ab}=\frac{4ab}{ab}=4[/tex]
SORU 8: [tex]x^2-5x-24=0[/tex] ifadesi çarpanlarına nasıl ayrılır?
Bu soruda iki sayı bulmamız gerekiyor. Toplamları [tex]5[/tex] ve çarpımları [tex]-24[/tex] etmeli. Bu şartı sağlayan iki sayı [tex]8[/tex] ve [tex]-3[/tex] olduğundan, ifade çarpanlarına şu şekilde ayrılabilir;
[tex]x^2-5x-24 = (x-8)(x+3)[/tex]
SORU 9: [tex]x^2+4x+4[/tex] ifadesi çarpanlarına nasıl ayrılır?
Bu soruda da tam kare özdeşliği mevcuttur. Dolayısıyla çarpanlarına şöyle ayrılır;
[tex]x^2+4x+4=(x+2)^2=(x+2)(x+2)[/tex]
SORU 10: [tex](x+4)(x-94)(x+10002)(x+7):(x-94)(x+10002)(x+7).x[/tex] ifadesinin en sade hali hangisidir?
Bu soruda gördüğün gibi bölme işlemi var ve her iki tarafta da ortak olan çarpanlar var. Bu çarpanları sadeleştirelim ve cevaba ulaşalım.
[tex]\frac{(x+4)(x-94)(x+10002)(x+7)}{(x-94)(x+10002)(x+7).x} =\frac{x+4}{x} =1+\frac{4}{x}[/tex]
SORU 11: [tex]x^2-8[/tex] ifadesinin çarpanları nedir?
Toplamları [tex]0[/tex], çarpımları [tex]-8[/tex] eden iki sayıyı bulalım.
[tex]\sqrt{8}, -\sqrt{8}[/tex]
Çarpanları şeklinde yazalım.
[tex]x^2-8=(x+\sqrt{8} )(x-\sqrt{8} )[/tex]
SORU 12: [tex](x+1)^3[/tex] açılımını çarpanları şeklinde gösteriniz.
Bu tarz sorular yazıyorum ki özdeşlikleri de tekrar etmiş olalım. Özdeşlikleri çok fazla kullanıyoruz ve bize pratiklik ve zamandan kazanç sağlıyorlar :)
HATIRLATMA: [tex](a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3[/tex]
Ayıralım.
[tex](x+1)^3=x^3+3x^2+3x+1[/tex]
SORU 13: [tex]5x^2-8x-21=0[/tex] ifadesini çarpanlarına ayrılmış biçimde ifade ediniz.
Aynı şekilde, toplamları [tex]\frac{8}{5}[/tex] ve çarpımları [tex]\frac{-21}{5}[/tex] eden iki sayı bulursak ayırabiliriz. Bu sayılar [tex]\frac{-7}{5}[/tex] ve [tex]3[/tex] olmaktadır. Çarpanlarına ayrılmış biçimde ifade edersek;
[tex]5x^2-8x-21 = (5x+7)(x-3)[/tex]
SORU 14: Kökleri [tex]1[/tex], [tex]2[/tex] ve [tex]3[/tex] olan üçüncü dereceden bir bilinmeyenli denklemi yazınız ve çarpanları biçiminde ifade ediniz.
Köklerimiz belli, işimiz çok kolay oldu.
[tex](x-1)(x-2)(x-3)=x^3-6x^2+11x-6[/tex]
SORU 15: [tex]x^2-5x+6[/tex] ifadesinin [tex](x-3)[/tex] ile bölümünden elde edilen bölüm kaçtır?
İlk ifadeyi çarpanlarına ayıralım. Sadeleştirme sorusu gibi duruyor, göreceğiz :)
[tex]\frac{x^2-5x+6}{x-3}= \frac{(x-3)(x-2)}{x-3}=x-2[/tex]
SORU 16: [tex]P(x)[/tex] polinomunun [tex]x-3[/tex] ile bölümünden kalan [tex]0[/tex] olmaktadır. Buna göre bu polinomun bir kökü nedir?
Soruda bize [tex]x-3[/tex] ile bölümü kalansızdır demiş. Dolayısıyla şu eşitlik yazılabilir;
[tex]P(3)=0[/tex] o zaman bir kökümüz [tex]3[/tex] olmalıdır.
SORU 17: 27 sayısının çarpanları nedir?
[tex]1,3,9[/tex] ve [tex]27[/tex]'dir.
SORU 18: [tex]a^2b+ab^2-2ab[/tex] ifadesini çarpanlar şeklinde yazınız.
Görüldüğü gibi her terimde [tex]ab[/tex] ortak çarpanı var. O zaman ortak çarpan parantezine alalım.
[tex]a^2b+ab^2-2ab=ab(a+b-2)[/tex]
SORU 19: [tex]a+b=9[/tex] ve [tex]a^2b+a=14ab[/tex] ise [tex]a[/tex] ve [tex]b[/tex]'nin tam sayı köklerini bulun.
İfadeyi düzenlersek şunu elde ederiz;
[tex]a^2b+a-14ab=a(a+b)-14ab[/tex]
Aynı şekilde ilk denklemde de [tex]a[/tex] yerine [tex]9-b[/tex] yazabiliriz. Denklem sistemini bir bilinmeyenli haline getirelim.
[tex]a(a+b)-14ab = 9(9-b)-14b(9-b)[/tex]
Buradan şu denklemi elde ederiz;
[tex](9-b)(9-14b)=0[/tex]
Buradan [tex]b[/tex] sayısı tam sayı olarak [tex]9[/tex] gelirken, [tex]a[/tex] sayısı ise [tex]0[/tex] olmaktadır.
SORU 20: [tex]x^2+4x+6[/tex] ifadesi çarpanlarına ayrılır mı?
Evet, ayrılır. Ama kökleri tam sayı kökler değildir.
Başarılar!
Thank you for visiting our website wich cover about Matematik. We hope the information provided has been useful to you. Feel free to contact us if you have any questions or need further assistance. See you next time and dont miss to bookmark.