700. Cevap™
Cevap [tex]{56.( \frac{1}{2}) }^{10} [/tex] olur.
10 tane sonuç tahmininin her biri için de başarı olasılığı sabit ve bu olasılık,
[tex]0,5 = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} [/tex] ise başarı ve başarısızlık olasılığı her bir tahminde birbirine eşit demektir.
NOT: Toplam iki ihtimalden birinin gerçekleşme olasılığı %50 ise, diğer ihtimalin gerçekleşme olasılığı da haliyle %50'dir.
Bu 10 sonucun en az 8 tanesini doğru (başarılı) tahmin etmek demek,
1. ihtimal: 8 doğru + 2 yanlış tahmin veya,
2. ihtimal: 9 doğru + 1 yanlış tahmin veya,
3. ihtimal: 10 doğru + 0 yanlış tahminde bulunmak anlamına gelir.
Bizden istenen de bu 3 ihtimale ait olasılıkların toplamıdır.
Önce, 1. ihtimali ele alırsak:
10 sonuç arasından 8 doğru cevap kaç farklı şekilde gerçekleşir ve tek başına, her bir sonuç tahmini için bu durumun gerçekleşme olasılığı nedir, onları bulup bu iki sayıyı çarpmamız gerekiyor. 10 sonuç arasından 8 doğru cevap, kombinasyon hesabıyla işlem yaptığımızda
C¹⁰₈ = [tex]9. \frac{10}{2} [/tex] = 45 farklı şekilde olabilir.
Tek başına, her bir sonuç tahmininde bu durumun gerçekleşme olasılığı ise:
8 tanesinin başarılı (her birinin gerçekleşme olasılığı = [tex] \frac{1}{2} [/tex]) ve,
2 tanesinin de başarısız olma (her birinin gerçekleşme olasılığı yine = [tex] \frac{1}{2} [/tex]) durumu söz konusu olduğuna göre: [tex] \frac{1}{2} . \frac{1}{2} . \frac{1}{2} ... \frac{1}{2} [/tex]
10 tane [tex] \frac{1}{2} [/tex]'nin çarpımı demektir.
Yani, tek başına her bir sonuç tahmininde bu olasılık değeri = [tex] { \frac{1}{2} }^{10} [/tex]'dur.
Sonuç olarak, 1. ihtimalin gerçekleşme olasılığı = [tex]45. { \frac{1}{2} }^{10} [/tex]'dur.
Şimdi de, 2. ihtimali ele alırsak:
Burada da, 1. ihtimalde olduğu gibi tek başına her bir sonuç tahmininde 9 doğru ve 1 yanlış sonucun birlikte gerçekleşme olasılığı yine, [tex] { \frac{1}{2} }^{10} [/tex]'dur.
Kombinasyon hesabı yaptığımızda ise,
10 sonuç arasından 9 doğru cevap,
C¹⁰₉ = 10 farklı şekilde olabilir.
Sonuç olarak, 2. ihtimalin gerçekleşme olasılığı = [tex]10. { \frac{1}{2} }^{10} [/tex]'dur.
Son olarak da, 3. ihtimali ele alırsak:
Burada da 1. ve 2. ihtimallerde olduğu gibi tek başına her bir sonuç tahmininde 10 doğru ve 0 yanlış sonucun birlikte gerçekleşme olasılığı yine, [tex] { \frac{1}{2} }^{10} [/tex]'dur.
Kombinasyon hesabı yaptığımızda ise,
10 sonuç arasından 10 doğru cevap sadece
C¹⁰₁₀ = 1 şekilde olabilir.
Sonuç olarak, 3. ihtimalin gerçekleşme olasılığı = 1.(1/2)¹⁰'dur.
Her 3 ihtimale ait olasılıkların toplamı ise, [tex]45. { \frac{1}{2} }^{10} + 10. { \frac{1}{2} }^{10} +{ \frac{1}{2} }^{10} [/tex]
Bu ifadeyi [tex] { \frac{1}{2} }^{10} [/tex] ortak parantezine alırsak,
[tex] { \frac{1}{2} }^{10} .(45 + 10 + 1) = 56. { \frac{1}{2} }^{10} [/tex] olarak bulunur.
#Göktuğ
