Merhaba.
Öncelikle polinomlarda çarpma işleminin nasıl yapıldığına bakalım.
[tex]P(x)=ax+b[/tex] ve [tex]Q(x)=cx+d[/tex] olsun.
[tex]P(x).Q(x)=(ax+b).(cx+d)[/tex] olup bu polinomun eşiti [tex](ax.cx)+(ax.d)+(b.cx)+(b.d)[/tex] 'dir.
Parantezleri açıp, ortak olanları da ortak çarpan parantezine alırsak;
[tex](a.c)x^2+(a.d+b.c)x+b.d[/tex] olur ki bunu ezberlememize ya da bilmemize gerek yoktur. [tex]P(x).Q(x) = (ax+b).(cx+d)[/tex] olduğunu bilmemiz yeterlidir.
1.)
[tex]P(x)=x^3-5x+2[/tex]
[tex]Q(x)=-3x^4+2x^2-8[/tex] iki polinom olsun.
[tex](P.Q)(x)[/tex] polinomunda [tex]x^5[/tex] 'li terimin katsayısı nedir?
[tex](P.Q)(x)=P(x).Q(x)[/tex] 'dir.
Buna göre yukarıdaki bilgi dahilinde polinomlarımızı çarpalım.
[tex](x^3-5x+2).(-3x^4+2x^2-8)\\
=x^3(-3x^4+2x^2-8)-5x(-3x^4+2x^2-8)+2(-3x^4+2x^2-8)\\
=-3x^7+2x^5-8x^3+15x^5-10x^3+40x-6x^4-4x^2-16\\
=-3x^7+17x^5-6x^4-18x^3-4x^2+40x-16[/tex]
bulunur ve burada ki [tex]x^5[/tex] 'in katsayısı 17 'dir.
2.)
[tex]P(x)=x^2-6x+5[/tex] olduğuna göre [tex]x.P(x)-3P(x)[/tex] polinomunun eşiti nedir?
Şimdi bu soru için 2 farklı yoldan çözebiliriz. İlk olarak [tex]P(x)[/tex] parantezine alabiliriz ya da [tex]P(x)[/tex] polinomunu sırayla x ve -3 ile çarpıp toplayabiliriz. (3 ile çarpıp çıkartabiliriz.)
Ben paranteze alarak çözeceğim.
[tex]x.P(x)-3P(x) = P(x)[x-3][/tex] Polinomu yerine yazarsak;
[tex](x^2-6x+5).(x-3) = x^3-3x^2-6x^2+18x+5x-15\\ =x^3-9x^2+23x-15[/tex]
olarak bulunur.
3.)
[tex]P(x)=2x^4+3x^2-7[/tex] olduğuna göre [tex]2P(x)+4P(x)[/tex] polinomunun eşiti nedir?
Yukarıdaki soru ile çok benzemekte ve aynı yolla yapılabilir. Ben bu sefer çarparak yapacağım.
[tex]2(2x^4+3x^2-7)+4(2x^4+3x^2-7)\\
= 4x^4+6x^2-14 + 8x^4+12x^2-28\\
=12x^4+18x^2-42[/tex]
4.)
[tex]P(x)=2x-1[/tex]
[tex]Q(x)=x^3+3x^2+2[/tex] polinomlarının çarpımını bulunuz.
[tex]P(x).Q(x)=(2x-1).(x^3+3x^2+2)\\
=2x^4+6x^3+4x-x^3-3x^2-2\\
=2x^4+5x^3-3x^2+4x-2[/tex]
5.)
[tex]3x^3-x^2+6=(x-2)P(x)+26[/tex] olduğuna göre [tex]P(x)[/tex] 'i bulunuz.
[tex]P(x)[/tex] polinomunu yalnız bırakalım.
[tex](x-2)P(x) = 3x^3-x^2+6-26 = 3x^3-x^2-20[/tex]
Eşitliğin sağ tarafını [tex]x-2[/tex] 'ye bölersek yani,
Polinom bölmesi yaparsak (Ekteki resme bakınız)
[tex]P(x)=3x^2+5x-10[/tex] bulunur.
