Sivasda doğmuştur. Doğum tarihi belli değildir. Yeniçeri ocağında Seksoncubaşı iken Peç Seferinde şehit düşen Süleyman Ağanın oğludur. Kendisi de Yeniçeri ocağında yetişmiştir. Yirmi sekizinci ortada hizmet gördüğü için hayatı boyunca bu isimle anılmiştır. Çorbacılık ve muhzır ağalığında bulunduktan sonra yeniçeri efendisi oldu. Darphane nâzırlığı ve şıkk-ı sâlis defterdarlığı görevlerinde bulundu. Sultan III. Ahmed saltanatında başmuhasebeci oldu.
1720 yılında bu görevde bulunduğu sırada Fransa’ya büyükelçi olarak gönderildi. Osmanlı Devleti'nde ilk defa olarak devamlı bir elçilik görevi ülke dışına çıkan devlet görevlisi olan Mehmed Çelebi, Paris’te on bir ay kaldı. Dönüşünde, seyâhati sırasında gördüklerini bir kitap halinde padişaha sundu.
Mehmed Efendinin, ""Fransa’nın vesait-i umran ve maarifine dahi layıkıyla kesb-i ıttıla ederek kabil-i tatbik olanların takriri" için gönderildiği elçiliğini anlattığı Sefâretnâme’si tarihî ve edebî açıdan bu alanda yazılmış en önemli eserlerden biridir. Kitabındaİstanbul-Paris yolculuğu, Fransızların veba korkusuyla Toulon'da heyeti 40 gün karantinada tutuşu, Bordeaux üzerinden Paris'e varışı, XV. Louis tarafından kabul edilişi, katıldığı askeri merasimler ve Paris’in ilgi çekici yerlerini konu edinmiştir. Mehmed Çelebi ayrıca, giyimi, hali, tavrı, konuşması ve terbiyesiyle, başta saray olmak üzere, ilim ve teknik kurumlarından, ve genel anlamda Fransızlardan da takdir gördü. Fransa o dönemde ittifak arayışı içinde ve talepkar bir konumda olduğundan elçiye gösterilen ilgi ve özeni anlamak mümkündür. Yirmisekiz Mehmed Çelebi'nin elçiliği, İbrahim Müteferrika'nın matbaası ve, Paris'teki Tuileries Sarayını örnek alan Lale Devri'nin ünlü Sadabad Bahçeleri ile bahçecilik alanlarında Osmanlı Devleti'ne kısa vadede önemli yansımalara önayak olmuştur.
Sefaretnamesi 1757’de Fransızca'ya çevrilmiş, Osmanlı Devletinde ise ilk defa 1867’de basılmıştır.
Yirmisekiz Mehmed Çelebi, Paris’ten döndükten sonra da çeşitli görevlerde bulundu. Siyasi bir görevle Mısır’a da gönderildi.Patrona Halil İsyanından sonra Kıbrıs’a sürülen Yirmisekiz Mehmed Çelebi, 1732’de Kıbrıs’ta öldü. Mezarı Magosa’daki Buğday Camii kenarındadır.
1720 sefaretinde beraberinde bulunmuş olan ve dönüşlerinde ilk Osmanlı matbaasının kurulmasında büyük rolü olan oğluYirmisekizzade Said Efendi 1742'de bir başka Fransa sefaretinde bulunmuş, 1755'de Yirmisekizzade Mehmed Said Paşa adı ile kısa bir süre sadrazamlık yapmıştır.
