doğrusal denklem sistemleri problemleri çözümleriyle birlikte ln yrdım edn yhaaaa
4−1 GİRİŞ
Denklem sistemlerine lineer cebir dersinden aşina olmalısınız. Ancak bu tür denklemlerde
herhangi bir diferansiyel büyüklük veya türev bulunmaz. Başka bir deyişle cebirsel denklem
sistemi,
753
5
−=−
+ =
yx
yx
(4−1)
şeklinde karşımıza çıkar. Öte yandan diferansiyel denklem sistemleri genellikle bir veya daha
fazla sayıda bağımsız değişkenin tek bir bağımlı değişkene göre türevlerinin bulunduğu
denklem sistemleridir Örneğin;.
3 26
5232
′′ = ′ −+ ′ ++
′′ = ′ −− ′ ++
yyxxy
eyxxyx
t
(4−2)
sistemi, ikinci mertebeden iki tane diferansiyel denklemden oluşmaktadır ve burada
bilinmeyen fonksiyonlar x(t) ve y(t) dir. Bu iki bilinmeyen fonksiyonun her iki denklemde de
yer almasından ötürü, bu fonksiyonları bulabilmek için iki denklem birlikte çözülmek
zorundadır (tıpkı Denklem 4−1’in çözümünde olduğu gibi). Elde edilecek çözümler, belirtilen
t aralığında her iki denklemi de sağlamalıdır.
Bir diferansiyel denklem sistemini meydana getiren denklemler farklı mertebeden
denklemler olabilir. Örneğin tüm denklemler, Denklem 4−2 de olduğu gibi ikinci
mertebeden olabileceği gibi denklemlerin bazıları birinci bazıları ise ikinci mertebeden
olabilir. Diferansiyel denklem sistemine üniform bir yapı kazandırmak için genellikle bu tür
sistemler eşdeğer bir sisteme dönüştürülür.
n’inci mertebeden bir diferansiyel denklem, her zaman n adet birinci mertebeden
denklemden oluşan bir sisteme dönüştürülebilir. Bunun nasıl yapıldığını üçüncü
mertebeden bir denklem üzerinde göstereceğiz. Aşağıdaki diferansiyel denklem verilmiş
olsun.
2