Sagot :
Binom açılımı ve harfli ifade örnekleri
Mayıs 29, 2009 at 17:15 | Matematik(Lise)
- Yazar admin | Yorumlar yapılmış
A ) HARFLİ İFADELER :
5a, пr², 3x, x², 2y, (a-b), x²y², x+y-z, gibi ifadelere harfli ifadeler denir
KATSAYI :
3x²y türü bir ifadede 3 e katsayı denir
TERİM :
Harfli ifadelerde eksi ( – ) veya artı ( + ) işaretleriyle birbirinden ayrılan kısımlara terim denir
BENZER TERİMLER :
Harfleri ve harflerin kuvvetleri ( üssü ) aynı olan ifadelere benzer terimler denir
Örneğin ;
5x ile 7x
-2x² ile 5x²
4a ile -3a
B ) HARFLİ İFADELERDE DÖRT İŞLEM :
TOPLAMA VE ÇIKARMA:
Harfli ifadelerde toplama veya çıkarma yapılırken benzer terimlerin katsayıları toplanır, benzer terimin harf kısmı aynen yazılır
Örnek 1:
3a²b – a²b + 4a²b + a²b = ( 3 – + 4 + 1 ) a²b
= ( – + – ) a²b
= a²b
Örnek 2 :
2x²y + 3xy² + 5x²y – xy² = ( 2 + 5 ) x²y + ( 3 – 1 ) xy² = 7x²y + 2xy²
ÇARPMA :
Çarpma yapılırken, katsayılar çarpılır katsayı olarak yazılır Aynı harflerin üsleri toplanır harfe üs olarak yazılır Aynı olmayan harfler ise aynen yazılır
Örnek 1:
( 4x²y )( 5x²y²a ) = 45( x²x²yy²a ) = 20x y³a³
Örnek 2:
ax³y²( ay x³ – y²xa² ) = ax³y²ay x³ – ax³y²y²a² = a²x y – a³x y
Örnek 3:
( x+2 ) ( x²-3x+4 ) = x ( x²-3x+4 )+2( x²-3x+4 ) = x³-3x²+4x+2x²-6x+8
= x³-x²-2x+8
BÖLME :
Bölme yapılırken, katsayılar bölünür katsayı olarak yazılır Aynı harflerin üsleri çıkarılır üs olarak yazılır Aynı olmayan harfler aynen kalır
Örnek 1:
10x²y
-5xy
Örnek 2:
4a b²c + 16 a b c² 4a b²c 16a b c²
8a²b c 8a²b c 8a²b c
=
=
C ) BİNOM AÇILIMI :
( x ± y )ⁿ nin x ile y kuvvetlerinin toplamı ve çarpımı şeklinde yazılmasına binom açılımı denir ( x + y ) nin tam kuvvetlerinin açılımında elde dilen terimlerin katsayıları Pascal üçgeni yardımıyla bulunur
1 ( x ± y )
1 1 ( x ± y )
1 2 1 ( x ± y )
1 3 3 1 ( x ± y )
1 4 6 4 1 ( x ± y )
1 5 10 10 5 1 ( x ± y )
Örnek 1:
( x ± y ) = 1
( x ± y ) = 1x +1 y = x+y
( x ± y ) = 1x²+2xy+1y²= x²+2xy+y²
( x ± y ) = 1x + 3x²y + 3xy² + 1y = x + 3 x²y + 3xy² + y
( x ± y ) = x + 4x y + 6x²y² + 4xy + y
( x ± y ) = x + 5x y + 10x y² + 10x²y + 5xy +y
• ( x ± y )ⁿ açılımında n+1 terim vardır
• ( x ± y )ⁿ açılımında katsayılar toplamı 2ⁿ dir
• ( x ± y )ⁿ açılımının her terimindeki x ve y nin üsleri toplamı n dir
• ( x ± y )ⁿ açılımında katsayılar toplamını bulmak için x=y=1 alınır
• ( ax+ by )ⁿ açılımında katsayılar toplamı ( a+b )ⁿ dir
• Pascal Üçgeni simetriktir, baştan ve sondan eşit uzaklıktaki terimlerin katsayıları aynıdır
• ( x-y ) açılımda ( aradaki işaret “ – “ olduğundan her terimde bir sırayla işaret değiştirilerek yazılır
D ) ÖZDEŞLİKLER :
Çözüm kümesi R ( reel sayılar ) olan eşitliklere özdeşlik denir ( a+b)²=a²+2ab+b² gibi Çözüm kümesi R olmayan, R nin bir alt kümesi olan açık önermelere denklem denir 3x+5=8 açık önermesi bir özdeşlik değil, denklemdir Yani özdeşlik bilinmeyenin her değeri için doğrudur, denklem ise bilinmeyenin bazı değerleri için doğrudur Bazı önemli özdeşlikleri şu şekilde sıralayabiliriz
İKİ KARE FARKI :
a² – b² = (a – b) (a + b) = a ( a + b) – b(a + b) = a² + ab – ba – b² = a² – b²
İKİ TERİMİN TOPLAMININ KARESİ :
(a + b)² = (a + b) (a + b) = a(a + b) + b(a + b ) = a² + ab +ba + b² = a² + 2ab + b²
İKİ TERİMİN FARKININ KARESİ :
(a – b )² = (a – b) (a – b) = a(a – b) – b(a – b) = a² – ab – ba + b² = a² – 2ab + b²
İKİ TERİMİN TOPLAMININ KÜPÜ :
(a + b) = (a + b) (a + b) (a + b) = ( a² + 2ab + b² ) (a + b)
= a ( a² + 2ab + b² ) + b ( a² + 2ab + b² )
= a + 2a²b + ab² + ba² + 2 ab² + b
= a + 3a²b + 3 ab² + b
İKİ TERİMİN FARKININ KÜPÜ :
(a – b) = (a – b) (a – b) (a – b) = ( a² – 2ab + b² ) (a – b)
= a ( a² – 2ab + b² ) – b ( a² – 2ab + b² )
= a – 2a²b + ab² – ba² + 2 ab² – b
= a – 3a²b + 3 ab² – b
E ) ÇARPANLARA AYIRMA YÖNTEMLERİ :
Bir harfli ifadeyi çarpanlara ayırma işlemi, çarpımları o ifadeyi veren çarpanları bulmak demektir
ORTAK ÇARPAN PARANTEZİNE ALARAK ÇARPANLARA AYIRMA YÖNTEMİ :
Her terimde katsayıların ebob’u veya her terimdeki aynı (ortak) çarpan ifadelerinin parantez dışına alınmasına denir
Örnekler :
ax – bx² + cx = x ( ax² – bx + c)
a – b = – ( b – a )
x + 4x² – x = x ( x² + 4x – 1 )
(a – 2) x + y ( 2 – a) = (a – 2) x – y (a – 2) = (a – 2) (x – y)
GRUPLANDIRARAK ÇARPANLARA AYIRMA YÖNTEMİ :
Verilen ifadenin terimleri uygun şekillerde gruplara ayrılır ve ayrılan gruplarda ortak bir çarpan bulunmaya çalışılır
Örnekler :
ax + bx + ay +by = x (a + b) + y (a + b) = (a + b) (x + y)
I Grup II Grup
2a(b + 1) + 3b + 3 + ab + a = 2a(b + 1) + 3(b + 1) + a(b + 1) = (b + 1) ( 2a + 3 + a)
= (b + 1) (3a + 3) = 3(a + 1) (b + 1)
İKİ KARE FARKINDAN FAYDALANARAK ÇARPANLARA AYIRMA YÖNTEMİ :
İki kare farkı olan ifadeleri çarpanlara ayırırken, a² – b² = (a – b) (a + b) özdeşliğinden faydalanılır Bu özdeşliği şu şekilde yorumlayabiliriz “ Verilen a² – b² ifadesinde a² nin karekökü ve b² nin karekökü bulunur Bu bulunan ifadelerin arasına ( – ) ve ( + ) işaretleri konularak çarpılır
Örnekler :
4² – x² = (4 – x) (4 + x)
25 – y² = (5 – y) (5 + y)
a – b² = ( a –b) ( a –b)
1-16x²= 1² – (4x)² = (1 – 4x) (1 + 4x)
(3a-2)²-1= (3a – 2 – 1) (3a – 2 + 1) = (3a – 3) (3a – 1)
TAM KARE OLAN İFADELERDEN FAYDALANMA YÖNTEMİ :
Tam kare olan üç terimli ifadelerde, iki terimin karekökleri çarpımının iki katı ortadaki terimi vermektedir
(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a – b)² = a² – 2ab + b²
Örnekler :
x² – 2x + 1 = (x –1)²
x 1
x² + 4x + 4 = (x + 2)²
x 2
X²+ BX +C ÜÇ TERİMLİSİNİ ÇARPANLARINA AYIRMA YÖNTEMİ :
Bu şekildeki üç terimlileri çarpanlarına ayırırken, çarpımları C (sabit terim), toplamları B (x’in katsayısı) olan iki sayı aranır
Örnekler :
x² + 7x + 6
61 = 6 ve 6+1 = 7 olduğundan
x² + 7x + 6 = (x + 6) (x + 1)
x² – 4x + 3
(-3)(-1)=3 ve (-3)+(-1)= – 4 olduğundan
x² 4x + 3 = (x – 3) (x – 1)
x – 3
x – 1
F) SADELEŞTİRME :
Pay ve paydadaki ifadeler çarpım durumunda değilse, önce çarpanlarına ayrılır sonra sadeleştirmeler yapılır
Örnekler:
1 + —- ———- m + 1 m²
———— = ————————- = —————- ——————
1 – —– ———– m² m² – 1
m + 1 m
= ———— ———————————
1 (m + 1) (m – 1)
m
= ————-
m – 1
x² – 10x +25 x + 5 (x – 5) (x – 5) (x + 5)
—————- ———- = ——————- ———— = 1
x² – 25 x – 5 (x – 5) (x + 5) (x – 5)
a b – ab ab(a² – b²) (a – b) (a + b)
———— + a – b = ———————– + (a – b) = —————————- + (a – b)
a²b – ab² ab(a – b) (a – b)
Thank you for visiting our website wich cover about Matematik. We hope the information provided has been useful to you. Feel free to contact us if you have any questions or need further assistance. See you next time and dont miss to bookmark.