Sagot :
Tanım: V ve W bir F cismi üzerinde iki vektör uzayı olsun.
Her a,b V ve c F için;
T: V W dönüşümü
T(0V)=0W ve T (ca+b) = cT(a) + T(b) eşitliğini sağlıyorsa T’ye V’den W’ya bir lineer dönüşüm denir.
Başka bir deyişle; lineer dönüşüm özelliklerini şöyle de verebiliriz...
Her a,b V için T(a+b) = T(a) + T(b)
Her c F ve a V için T(ca) =cT(a) dır...
Lineer dönüşümlerle ilgili bir tane örnek verelim:
Örnek: T: IR3 IR2
(x1, x2, x3) (x1+x2 , 2x2 – x3) T dönüşümünün lineer dönüşüm olduğunu gösterelim:
T (0,0,0) = (0+0, 2.0 – 0) = (0,0) = 0IR2
i) Her (x1, x2, x3) , (y1, y2, y3) Є IR3 için T ((x1, x2, x3) + (y1, y2, y3)) = T (x1, x2, x3) + T (y1, y2, y3) ?
T ((x1, x2, x3) + (y1, y2, y3)) = T ((x1 + y1 , x2 + y2 , x3 + y3))
= (x1 + y1 + x2 + y2 , 2(x2 + y2) – (x3 + y3))
= ((x1 + x2) + (y1 + y2) , 2x2 – x3 + 2y2 - y3)
= (x1 + x2 , 2x2 – x3) + (y1 + y2 , 2y2 - y3)
= T (x1, x2, x3) + T (y1, y2, y3)
ii) Her v = (x,y,z) Є IR3 için ve Her k Є IR için T(kv) = kT(v) ?
T(kv) = T(k(x,y,z)) = T(kx, ky, kz)
= (kx + ky , 2ky – kz) = (k(x + y) , k(2y – z)) = k(x + y , 2y – z) = k T( x,y,z) = kT(v)
i ve ii koşulları sağlandığından T: IR3 IR2 dönüşümü bir lineer dönüşümdür...
Bir örnek daha verecek olursak T: IR3 IR2 (x1, x2, x3) (x1 - 3 , 2x2 +1) dönüşümü lineer dönüşüm değildir. Çünkü T(0,0,0) = (-3,1) 0IR2
Lineer Dönüşümlerin Çekirdeği ve Görüntüsü
Tanım: T: V W bir lineer dönüşüm olsun.
ImT ={w W | T(v) = w her v Є V} kümesine T’nin görüntü kümesi denir...
KerT ={v V | T(v) = 0w} kümesine de T’nin çekirdeği denir.
Teorem: KerT’nin V’nin bir altuzayı olduğunu gösteriniz...
T(0) = 0 0 eleman Kert ≠ 0 dır.
v1, v2 KerT ve c F için cv1 + v2 KerT
v1, v2 KerT T(v1) = 0 ve T(v2) = 0
T(cv1 + v2) = cT(v1) + T(v2) = c.0 + 0 = 0
cv1 + v2 KerT
Teorem: V sonlu boyutlu bir vektör uzayı ve T: V U lineer dönüşüm olsun. O zaman
dimV = dim (KerT) + dim (ImT)
boyV = boy (KerT) + boy (ImT)
Örnek: T: IR3 IR [x]
(a,b,c) (a - b) + (b - c) x + (c – a) x2
Buna göre KerT ve ImT’nin bir baz ve boyutunu bulunuz.
KerT = { (a,b,c) | T (a,b,c) = 0 + 0x + 0x2 = 0 )
T(a,b,c) = (a - b) + (b - c) x + (c – a) x2 = (0 + 0x + 0x2)
a-b = 0 (1) , b – c = 0 (2) , c – a = 0 (3)
(1) ve (3) ü toplayalım. c – b = 0 (4) , a – b = 0 (5) , b – c = 0 (6)
(5) ve (6) yı toplayalım. a – b = 0 , b – c = 0 , 0 = 0
dim KerT = 3 bilinmeyen – 2 denklem = 1
c = 1 olsun a = 1 , b = 1 ßKerT = { (1,1,1) }
dimV = dim KerT + dim ImT
3 = 1 + 2
dim ImT = 2
KerT = { (a,b,c) Є IR3 | T(a,b,c) = 0 } = { (a,a,a) | a Є IR} = { (x,y,z) | x=y=z }
Şimdi ImT için dim ImT = 2 bulmuştuk.
E IR3 = {e1 , e2 , e3} gererse T(e1), T(e2), T(e3) ImT’yi gerer.
T(1,0,0) = 1 + 0x + (-1)x2
T(0,1,0) = -1 + 1x + 0x2
T(0,0,1) = 0 + (-1)x + 1x2
1 0 -1 1 0 -1 1 0 -1
-1 1 0 0 1 -1 0 1 -1
0 -1 1 0 -1 1 0 0 0
Sıfırdan farklı satır sayısı dim ImT = 2
ßImT = { a1 = 1 + 0x - x2 , a2 = 0 + x - x2 }
Her p(x) ImT = { T(v) | v IR3 }
(u0 + u1x + u2x2) , u0 = a – b, u1 = b – c, u2 = c – a
1 0 0 u0 1 -1 0 u0 1 -1 0 u0
0 1 -1 u1 0 1 -1 u1 0 1 -1 u1
-1 0 1 u2 0 -1 1 u0 + u2 0 0 0 u0+u1+u2
u0+u1+u2 = 0 ImT = { (u0 + u1x + u2x2) | u0+u1+u2 = 0 , u0, u1, u2 IR) }
Tersinir Lineer Dönüşümler
Örnek: T: IR3 IR3
(x,y,z) (2x , x – y , x + y + z) dönüşümünün tersini olup olmadığını araştırınız. Tersinir ise T-1 = ?
T’nin tersinir olabilmesi için 1-1 ve örten olması gerekir.
T, 1-1 ise KerT = {0} olmalı.
KerT = { (x,y,z) Є IR3 | T(x,y,z) = (0,0,0) }
T(x,y,z) = (2x, x-y, x+y+z) = (0,0,0)
2x=0 x = 0
x – y = 0 y = 0 v = (x,y,z) = (0,0,0) T , 1-1‘dir.
x + y + z = 0 z = 0 KerT = (0IR3 )
dim IR3 = dim ImT + dim KerT 3 = 3 + 0 dim ImT = 3
ImT ≤ IR3 (3 ≤ 3) ImT= IR3 T(IR3) = IR3 örten
T tersinir...
T(x,y,z) = (a,b,c) olsun. T-1 (a,b,c) = T-1 ( T (x,y,z) )
(2x , x – y , x + y + z) = (a,b,c) T-1 (a,b,c) = (x,y,z)
x = a/2 , y = a/2 – b , z = c – a + b T-1 (a,b,c) = (a/2 , a/2 – b , c – a + b)
Dual Uzay
Tanım: V(F) ve F(F) iki vektör uzayı olsun. V F uzayına bütün lineer dönüşümlerin kümesi F üzerinde bir vektör uzayıdır. Bu uzaya V’nin dual uzayı denir. Ve genelde V* ile gösterilir...
Bu uzayın elemanlarına V’de lineer formlar ya da lineer fonksiyoneller denir.
Tanım: V(F) < ∞ bir vektör uzayı, ß = {v1 , v2 , .... , vn } V’nin bir bazı olsun. O zaman V* dual uzay V ile aynı boyuttadır.
Böylece ß* = { v1*, v2*, .... , vn*} = {f1 , f2 , ... , fn} bazı vardır. ß* bazına ß’nin dual bazı denir.
Herhangi bir f V* lineer formu;
f = f(v1) v1* + .... + f(vn) vn* ile
ve herbir v V vektörü;
V = V1* (V) V1 + ... + Vn* (V) Vn şeklinde ifade edilebilir...
Örnek: V = (IR3:IR) vektör uzayıının bir bazı ß = { v1 = (1,-1,3) , v2 = (0,1,-1) , v3 = (0,3,-2) } olsun.
ß bazına dual olan ß* dual bazını bulunuz...
ß* = {f1 , f2 , f3}
fi : IR3 IR
(x,y,z) a1x + a2y + a3z
f1 = a1x + a2y + a3z olsun...
f1 (v1) = 1 f1 (1,-1,3) = a1 - a2 + 3a3 = 1
f1 (v2) = 0 f1 (0,1,-1) = a2 - a3 = 0
f1 (v3) = 0 f1 (0,3,-2) = 3a2 - 2a3 = 0
1 -1 3 1 1 -1 3 1
0 1 -1 0 0 1 -1 0 a3 = 0 , a2= 0 , a1= 1
0 3 -2 0 0 0 1 0
f1 (x,y,z) = x
f2 = b1x + b2y + b3z olsun...
f2 (v1) = 0 f2 (1,-1,3) = b1 - b2 + 3b3 = 1
f2 (v2) = 1 f2 (0,1,-1) = b2 - b3 = 0
f2 (v3) = 0 f2 (0,3,-2) = 3b2 – 2b3 = 0
1 -1 3 0 1 -1 3 0
0 1 -1 1 0 1 -1 1 b3 = -3 , b2= -2 , b1= 7
0 3 -2 0 0 0 1 -3
f2 (x,y,z) = 7x – 2y – 3z
f3 = c1x + c2y + c3z olsun...
f3 (v1) = 0 f3 (1,-1,3) = c1 - c2 + 3c3 = 0
f3 (v2) = 0 f3 (0,1,-1) = c2 - c3 = 0
f3 (v3) = 1 f3 (0,3,-2) = 3c2 – 2c3 = 1
1 -1 3 0 1 -1 3 0
0 1 -1 0 0 1 -1 0 c3 = 1 , c2= 1 , c1= -2
0 3 -2 1 0 0 1 1
f3 (x,y,z) = - 2x + y + z
ß* = {f1 , f2 , f3} = { x , 7x – 2y – 3z , - 2x + y + z }
Örnek: V: (IR3:IR) vektör uzayının dual uzay V*ın
ß*= f1(x,y,z) = x + y + z bazının duali olduğu V’nin ß = {v1, v2, v3} bulunuz...
f2(x,y,z) = y - z
f2(x,y,z) = z
v1 = (x1, y1, z1)
f1 (v1) = x1 + y1 + z1 = 1 z1 = 0 , y1 = 0 , x1 = 1 v1 = (1,0,0)
f2 (v1) = y1 - z1 = 0
f3 (v1) = z1 = 0
v2 = (x2, y2, z2)
f1 (v2) = x2 + y2 + z2 = 0 z2 = 0 , y2 = 1 , x2 = -1 v2 = (-1,1,0)
f2 (v2) = y2 – z2 = 1
f3 (v2) = z2 = 0
v3 = (x3, y3, z3)
f1 (v2) = x3 + y3 + z3 = 0 z3 = 1 , y3 = 1 , x3 = -2 v3 = (-2,1,1)
f2 (v2) = y3 – z3 = 0
f3 (v2) = z3 = 1
ß = {v1, v2, v3} = { (1,0,0) , (-1,1,0) , (-2,1,1) }
Thank you for visiting our website wich cover about Matematik. We hope the information provided has been useful to you. Feel free to contact us if you have any questions or need further assistance. See you next time and dont miss to bookmark.