p(x)=(xüzeri 2 -2x+4)üzeri 4 polinomu düzenlendiğinde p(x)in çift dereceli terimlerinin kat sayıları toplamı???
olmak üzere,
P(x) = a0 + a1 × x + a2 × x2 + … + an × xnbiçimindeki ifadelere x değişkenine göre, düzenlenmiş
reel kat sayılı polinom (çok terimli) denir.
Burada, a0, a1, a2, … an reel sayılarına polinomun kat sayıları,
a0, a1 × x , a2 × x2 , … , an × xn ifadelerine polinomun terimleri denir.
an × xn terimindeki an sayısına terimin kat sayısı, x in kuvveti olan
n sayısına terimin derecesi denir.
Derecesi en büyük olan terimin derecesine polinomun derecesi denir
ve der[P(x)] ile gösterilir. Derecesi en büyük olan terimin kat sayısına ise polinomun baş kat sayısı denir.
Polinomların Eşitliği
Aynı dereceli terimlerinin kat sayıları eşit olan polinomlar eşittir.
POLİNOMLARDA İŞLEMLER
1. Toplama İşlemi : İki polinom toplanırken; dereceleri aynı olan terimlerin kat sayıları kendi aralarında toplanır, sonuç o terimin kat sayısı olarak yazılır.
2. Çıkarma İşlemi : P(x) – Q(x) = P(x) + [–Q(x)]
olduğu için, P(x) polinomundan Q(x) polinomunu çıkarmak, P(x) ile
–Q(x) i toplamaktır.
3. Çarpma İşlemi : İki polinomun çarpımı; polinomlardan birinin her teriminin diğer polinomun her bir terimi ile ayrı ayrı çarpımlarından elde edilen terimler toplamınarak yapılır.
4. Bölme İşleminin Yapılışı : Polinomlarda bölme işlemi, sayılarda bölme işlemine benzer şekilde yapılır. Bunun için sırasıyla aşağıdaki işlemler yapılır:
1) Bölünen ve bölen polinomlar x değişkeninin azalan kuvvetlerine göre sıralanır.
2) Bölünen polinomun soldan ilk terimi, bölen polinomun soldan ilk terimine bölünür. Çıkan sonuç, bölümün ilk terimi olarak yazılır.
3) Bulunan bu bölüm, bölen polinomun bütün terimleri ile çarpılarak, aynı dereceli terimler alt alta gelecek şekilde bölünen polinomun altına yazılır.
4) Bölünenin altına yazılan çarpım polinomu, bölünen polinomdan çıkarılır.
5) Yukarıdaki işlemlere, kalan polinomun derecesi, bölen polinomun derecesinden küçük oluncaya kadar devam edilir.
der[P(x)] = m ve der[Q(x)] = n olsun.
P(x) in Q(x) ile bölümünden elde edilen bölüm polinomu B(x) olsun.
Buna göre,
der[P(x) + Q(x)] = m,
der[P(x) – Q(x)] = m,
der[P(x) × Q(x)] = m + n,
der[B(x)] = m – n,
der[[P(x)]k] = k × der[P(x)] = k × m,
P(x) = a0 + a1 × x + a2 × x2 + … + an × xnÖrneğin, P(x + 7) polinomunun kat sayıları toplamı,
P(1 + 7) = P(8) dir.
Kural
P(x) = a0 + a1 × x + a2 × x2 + … + an × xnpolinomunda x = 0 yazılırsa,
P(0) = a0 olur.Bu durumda P(0) ın değeri P(x) polinomunun sabit terimidir.
Yani; P(x) polinomunun ax + b ile bölünmesiyle elde edilen kalanı bulmak için, ax + b = 0 denkleminin kökü olan için P(x) polinomunun değeri olan hesaplanır.
Sonuç
P(x) polinomunun x – a ile bölümünden kalan P(a) dır.P(x + b) polinomunun x – a ile bölümünden kalan P(a + b) dir.
P(3x + b) polinomunun x – a ile bölümünden kalan P(3 × a + b) dir.
Derecesi n den büyük olan bir polinomunxn + a ile bölümünden kalanı bulmak için, xn yerine –a yazılır.
(xn + a = 0 ise, xn = –a)